波利亚计数定理的简单应用

问题的提出

原题目：用二十种氨基酸取代立方烷，产物有多少种（不考虑手性异构）？

【注】：原题目改编自 1997年国初题。

思路及文献

经大神指点应用波利亚计数定理解题。

找到文献：走向数学丛书01-波利亚计数定理-萧文强.pdf

步骤及过程

按书中步骤写出了S4的置换群

图3-1

以此作参照算出出立方体的圈分解

【注】：下图中的a,b,c,d为线段，定义见图3-1。 面ab,ac,ad....为两条线段所在的平面。 XYZ直角坐标系原点在立方体中心，即a,b,c,d的交点。

图3-2

图3-3

图3-4

圈分解小结

图3-5

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验证，验证公式中的式子能否被24整除来验证计算是否有误。

根据同余定理可知只需将1~12带入计算，若都为整数则原式可被24整除。

计算结果

结论

将21（20种氨基酸+氢元素）带入公式计算可得

结果中含立方烷本身，故最终结果为15,7609,0340种。